Current Issue

ASM 전파방식은 광학에서 전자기파의 전파를 수치적으로 계산할 때 사용하는 방법이다. ASM 전파방식의 수식은 (1)과 같다^[5].

(1), (2)의 g(x, y;0)는 전자기파의 전파가 시작되는 평면의 wavefield를 나타낸 함수로 (x, y) 좌표에 해당하는 복소진폭을 반환한다. 본 논문에서 g(x, y;0)은 SLM 평면의 (x, y) 좌표에서의 복소진폭을 나타내는 함수이다. ASM 전파방식에서 (1)에 대입하는 x와 y는 SLM 평면 위의 실제 물리적 위치이다. 그런데, 디지털 위상 홀로그램의 전파를 계산한다면, 좌표 (x, y)가 실제 물리적 위치가 아닌 상대적인 위치를 나타내는 값으로 생각하는 것이 편리하다. 예를 들어 인접한 두 광원 사이의 거리가 6.3μm인 SLM 장치에서 (x, y)에 해당하는 물리적 위치와 (x + 1, y)에 해당하는 물리적 위치 사이의 거리는 6.3μm이다. (1)의 H_AS는 전파 함수를 의미한다. (3)은 H_AS의 수식이다. g(x, y;d)는 SLM 평면과 평행하고, SLM 평면으로부터 d만큼 떨어진 wavefield의 복소진폭을 나타낸 함수이다.

만약 홀로그램이 전파거리 d에 최적화되어 형성되었다면, g(x, y;d)는 목표 이미지가 나타나는 목표 평면이라고 할 수 있다. F와 F ^{- 1}은 각각 푸리에 변환과 푸리에 역변환을 의미한다. 일반적으로 ASM 전파방식의 계산은 (1)처럼 푸리에 영역에서 계산한 뒤 역변환을 취해서 계산한다. 하지만, 직관적인 이해를 위해서는 (2)처럼 공간 신호 영역의 합성곱 연산으로 해석하는 것이 편리하다. 이때 전파 커널인 h_AS는 전파 함수인 H_AS를 푸리에 역변환하는 것으로 계산할 수 있다. (4)는 h_AS의 수식이다^[6]. 함수 h_AS를 진폭과 위상이 구분되는 형태로 고치면 (5)가 성립한다.

(5)에서 변수 x와 y는 항상 x² + y² 꼴로 쓰이는 것을 볼 수 있다. 이때 x² + y² 를 w²으로 치환하면, 더 간단하고 직관적인 (6)을 얻을 수 있다. 여기서 w는 SLM 평면에서 커널의 중심으로부터 떨어진 거리를 의미한다.

위상 변조 SLM의 표면에 있는 화소들은 진폭의 크기가 모두 같고, 위상이 각각 다른 광원이다. 이때 SLM 표면의 좌표 (x, y)에서의 복소진폭은 (7)로 나타낼 수 있다.

(7)에서 복소진폭의 크기가 1인 이유는 계산의 편의를 위해서이다. 실제로 SLM 장치에 입력하는 디지털 위상 홀로그램 신호는 ϕ(x, y)라고 할 수 있다. 합성곱 연산의 정의에 따라 목표 평면의 wavefield인 g(x, y;d)는 (8)로 계산할 수 있다.

(8)에서 p는 픽셀피치를 의미한다. x_s, y_s를 사용하는 이유는 g(x, y;d)의 x, y와 구분하기 위해서이다. x_s, y_s는 w_s의 상대적인 위치를 나타낸 값이고 h_AS에는 실제 물리적 거리를 대입해야 하므로, 스케일 값으로 p를 곱해줘야 한다. 정리하면, 목표 평면의 (x, y)좌표에서의 복소진폭인 g(x, y;d)는 SLM 평면의 wavefield g(x, y;0)의 원소들에 각각의 위치에 대응하는 가중치인 h(pw;d)를 곱해서 더한 선형 결합으로 표현할 수 있다.

BL-ASM 방식은 ASM 방식을 디지털 도메인에서 적용할 때 발생하는 에일리어싱 현상을 막기 위해 [5]에서 고안된 방식이다. BL-ASM 방식은 ASM 전파방식의 전파 함수인 (1)의 H_AS 대신 (9)의 H_BLAS를 사용한다.

(9)에서 p, q는 연속 도메인의 u, v를 표본화한 것이다. rect는 범위를 제한하는 구형함수를 나타낸다. u_BL, v_BL은 에일리어싱이 발생하지 않는 주파수 영역의 최댓값이다. Δu,Δv는 주파수 영역의 표본 간격이다. (9)를 푸리에 역변환해서 (2)와 같은 꼴로 나타내면 수식 (11)과 같이 나타낼 수 있다.

(11)에서 sinc(•)의 수식은 (12)이다. 여기서 알 수 있는 사실은, BL-ASM 방식은 ASM 방식으로 계산한 g(x, y;d)에 sinc(•)를 이용한 저주파 필터를 씌우는 방식이라는 것이다.

g'(x, y;d)는 새로운 SLM 평면을 나타내는 함수이다. 앞서 계산의 편의를 위해서 좌표 (x, y)는 실제 물리적 거리가 아닌 상대적 거리로 표현한 것을 기억할 것이다. 이전 SLM 평면의 wavefield를 나타내는 g(x, y;d)과 새로운 SLM의 평면을 나타내는 g'(x, y;d)에서 각 함수의 (x, y)좌표에 대응하는 물리적 위치와 (x + 1, y)에 대응하는 물리적 위치 사이의 거리는 화소 간격이 늘어난 만큼 s배 늘어났다. 하지만 같은 위상 홀로그램 신호를 입력했기 때문에 두 식의 같은 (x, y)좌표에서의 값은 같다. 때문에 (13)과 같이 나타낼 수 있다.

하지만, 전파 커널 h_AS의 매개변수는 달라진다. 전파 커널의 수식인 (6)에서 w는 실제 SLM 평면 위에서의 물리적 거리에 해당하는 값이다. 그러므로, 새로운 SLM의 전파 환경을 모사하기 위해서는 전파 커널의 변수 w에 s배 곱해진 값을 대입해야 한다. 그러므로 (8)과 마찬가지로 새로운 SLM 평면인 g'(x, y;d)으로부터 d'만큼 떨어진 wavefield인 g'(x, y;d')은 (10)과 같이 계산할 수 있다.

서론에서 언급했듯, 픽셀피치가 달라졌을 때 기존과 같은 전파거리 d에서 수치적 복원을 한 결과는 목표 이미지와는 무관한 잡음처럼 보인다. 본 연구의 목표는 SLM의 환경 설정이 달라지더라도 의도한 목표 이미지가 관측되는 전파거리 d'을 계산하는 것이다. 즉 (15), (16)을 만족시키는 d'을 찾는 것이 목표다.

홀로그램의 전파거리가 늘어나면, 전자기파의 세기가 약해지기 때문에 이미지의 밝기는 줄어들 수밖에 없다. (15), (16)에서 σ는 밝기를 맞춰주기 위한 상수 스케일 값을 의미한다. 절댓값을 취하는 이유는, 목표 이미지의 위상이 아닌 진폭의 분포가 일치하는 것이 목표이기 때문이다.

(5)의 r과 d는 실제 디스플레이 환경에서는 거의 같다 (r ≃ d). 그러므로 h_AS의 진폭의 크기는 전파거리 d에 반비례한다고 할 수 있다. 즉 (17)이 성립한다.

(15), (16)에서 σ는 스케일을 맞추기 위한 값이므로, σ = d/d'를 대입하면 양변의 크기를 맞춰줄 수 있다. (16)의 양변의 진폭의 크기가 같으므로 (5)의 위상 부분만을 이용해서 (16)을 다시 적으면 (18)을 만들 수 있다.

(18)에서 좌변과 우변을 각각 전개해보면 모든 복소수 항의 크기는 같고 복소수 항의 개수도 같다. 그러므로 각 변에서 첫 번째 복소수 항의 위상과 n번째 임의의 복소수 항의 위상의 차이가 일정하게 유지된다면, (18)은 항상 성립한다. 즉 (19)를 만족하면 (18)은 성립한다.

(19)에서 ϕ₀,ϕ_n은 그림 2에서 표현된 것처럼 각각 g(x, y;0)에서 직선거리에 있는 복소진폭의 위상과 임의의 거리 n만큼 떨어져 있는 위치에서 복소진폭의 위상을 나타낸다. (19)에서 k = 2π/λ로 매우 큰 숫자이므로, 위의 수식의 arctan(*)는 전부 π/2로 근사할 수 있다. 자세한 근사 정보는 Ⅳ장에 있다. ϕ₀와 ϕ_n에 해당하는 위치의 상대적 거리를 w_n이라 하고, 수식을 정리하면 (20)을 얻을 수 있다.

(20)을 만족하는 d'을 계산하면, 픽셀피치가 sp인 다른 SLM 장치에서 원하는 목표 이미지가 조합되는 거리 d'을 구할 수 있다. 이때 (20)을 만족하는 d'은 (21)의 결과와 같다.

(21)에서 d가 pw_n에 비해 매우 크기 때문에, 실용적인 환경에서 SLM의 픽셀피치가 s배 커지면, 목표 이미지가 조합되는 거리는 약 s²배 만큼 늘어난다고 정리할 수 있다.

Ⅱ장 2절에서 BL-ASM 방식은 ASM 방식의 결과에 저주파 필터를 씌운 것과 같은 효과를 준다고 언급했다. 여기에 사용되는 sinc(•)함수를 자세히 분석해보면, 픽셀피치가 바뀐 상황에서도 유사한 결과를 주는 것을 알 수 있다. 이 절에서는 픽셀피치가 p인 환경과 sp인 환경에서 BL-ASM 방식의 대역폭 제한이 유사한 효과를 가짐을 증명할 것이다.

(10)에 사용된 Δu,Δv는 (22)로 정의된다^[6].

(22)에서 Δx,Δy는 각각 wavefield의 표본화 주기, 즉 픽셀피치의 크기이다. M, N은 각각 x축과 y축의 홀로그램 해상도를 의미한다. 그러므로 MΔx,NΔy는 각각 홀로그램의 x축과 y축 방향의 물리적인 크기를 나타낸다. 픽셀피치가 p인 원본 홀로그램의 x축 방향 길이를 W라고 하면, 픽셀피치가 sp인 새로운 홀로그램의 x축 방향 길이는 sW이다. 이와 함께 1절의 유도 결과인 d' = s²d를 (10)에 대입해서, 원본 전파 환경의 주파수 영역의 최댓값인 u_BLori와 새로운 전파 환경의 주파수 영역의 최댓값인 u_BLnew을 계산하면 (23), (24)와 같이 유도할 수 있다.

그러므로 2d ≫ W인 환경에서는 (25)가 성립한다. 근사조건에 관해서는 Ⅳ장에서 자세히 다룰 것이다.

(11)의 저주파 필터로 쓰이는 2u_BLsinc(2u_BLx)도 (25)를 이용해서 각각의 환경에 계산할 수 있다. (25)에서 u_BLnew가 u_BLori의 1s배이므로 2u_BLnewsinc(2u_BLnewx)의 함수의 폭은 2u_BLorisinc(2u_BLorix)에 비해 s배 커진다. 이는 픽셀피치가 s배 커진 새로운 전파 환경에 비례하는 결과이다. 결론적으로 픽셀피치가 p에서 sp가 되었을 때, 1절의 결과를 만족하는 전파거리라면, BL-ASM의 대역폭 제한의 결과는 같다. 때문에 BL-ASM 방식으로 적정 전파거리를 계산하여도 1절의 결과와 똑같은 결과를 유도할 수 있다.

Ⅳ에서 프레넬 근사가 유효한 거리라면, 본 논문의 계산 결과가 유효함을 언급했다. 이 절에서는 (26)의 수식을 만족하는 조건에서 본 논문의 계산 결과가 유효함을 실험적으로 검증할 것이다. SLM의 픽셀피치가 6.3μm, 해상도가 1K라고 한다면, 개구면의 최대 크기는 대략 0.89cm이다. 이 수치를 파장의 길이 530nm와 함께 (26)에 대입하여 구한 전파거리 d는 약 20cm이다. 이 절에서는 이 조건을 만족하는 전파거리에서 본 논문의 전파거리 유도가 유효함을 검증할 것이다.

이 절의 실험에 사용하는 위상 홀로그램은 픽셀피치 6.4μm, 파장 520nm, 전파거리 20cm에 최적화하여 SGD 방법으로 만들었다. 그리고 이 위상 홀로그램을 픽셀피치가 두 배인 12.8μm로 바뀐 환경에서 전파거리를 변화시켜가며 BL-ASM 방식으로 수치적 복원했다. Ⅲ의 계산 결과가 옳다면 원래 전파거리의 4배인 80cm 근처에서 가장 복원이 잘되어야 한다. 그림 3은 800개 홀로그램 데이터의 복원된 이미지와 원본 이미지와의 평균 Peak Signal-Noise Ratio (PSNR)을 계산하여 전파거리별로 나타낸 그래프이다. 유도된 대로 픽셀피치가 늘어난 비율의 제곱 배 거리인 80cm에서 원본과의 PSNR이 24.0561으로 가장 유사한 이미지가 보이는 것을 확인할 수 있다. 또한 유도된 적정 전파 거리인 80cm보다 더 멀거나 가까울수록 PSNR 또한 낮아지는 것도 적정 전파 거리에 신뢰성을 더해준다.

Fig. 3. 
(up) As 800 holograms optimized for pixel pitch of 6.4μm, wavelength of 520nm, and propagation distance of 20cm are numerically reconstructed with pixel pitch of 12.8μm, a graph showing the average PSNR values with the target image depending on the propagation distance (down) Numerically reconstructed images at each distance of 78cm, 80cm, and 82cm

개별 이미지 분석으로는, 800개의 이미지 중에서 대다수인 780개의 이미지가 유도한 전파거리인 80cm에서 원본 이미지와의 PSNR이 가장 높은 것을 확인할 수 있었다. 나머지 20개의 이미지 또한 전부 80.1cm에서 PSNR이 가장 높았는데, 이는 (21)의 결과를 엄밀히 따져보면 전파거리의 증가 비율이 s²보다 미세하게 높기 때문으로 분석된다. 결과적으로 이 절의 실험은 프레넬 근사가 유효한 거리에서 본 논문의 적정 전파거리 유도가 성립함을 검증했다.

본 논문의 유도과정에서 사용한 근사조건은 d ≃ r이다. 즉, 프레넬 근사가 유효하지 않은 매우 가까운 전파 거리이더라도 d ≃ r만 만족한다면 본 논문의 계산 결과가 유효하다고 할 수 있다. 이 절에서는 d ≃ r을 만족하는 매우 가까운 거리에서 본 논문에서 유도한 적정 거리에서 깨끗한 이미지가 보이는 지를 검증할 것이다. 검증 방법은 1절과 유사하게 유도된 적정 전파거리로부터 가깝거나 먼 40개의 전파거리에서 목표 이미지와의 PSNR을 계산할 것이다.

개구면의 최대 크기가 0.89cm, d가 1cm라면 r의 최댓값은 1.3cm로 거리 d와 유사하다. 이 절에서 사용하는 위상 홀로그램은 픽셀피치 6.4μm, 파장 520nm, 전파거리 1cm에 최적화되어 SGD 방법으로 만들어졌다. 그림 4는 근거리 전파에 최적화되어 만들어진 이 위상 홀로그램을 1절의 실험과 마찬가지로 픽셀피치를 2배로 늘린 뒤, 전파거리를 변화해 가며 BL-ASM 방식으로 수치적 복원한 결과이다. 그림 4를 보면 매우 가까운 전파거리에서 만들어진 홀로그램이더라도 계산된 전파거리인 4cm에서 가장 높은 평균 PSNR인 24.7286을 보여주는 것을 확인할 수 있었다. 또한 유도된 거리에서 0.1cm 가까워지거나 멀어지기만 해도 10dB정도 떨어지는 것도 확인할 수 있었다. 이는 매우 가까운 거리 최적화되어 만들어진 홀로그램이기 때문에 거리 변화에 민감한 것으로 해석된다. 또 개별 이미지 분석으로는, 800개의 이미지 모두 유도된 거리에서 가장 높은 PSNR 수치를 보이는 것을 확인할 수 있었다.

Fig. 4. 
(up) As 800 holograms optimized for pixel pitch of 6.4μm, wavelength of 520nm, and propagation distance of 1cm are numerically reconstructed with pixel pitch of 12.8μm, a graph showing the average PSNR values with the target image depending on the propagation distance (down) Numerically reconstructed images at each distance of 2cm, 4cm, and 6cm