전파 거리에 따른 위상 홀로그램 복원성능 분석 및 BL-ASM 개선 방안 연구

1. Band-Limited Angular Spectrum Method (BL-ASM)

이번 절에서는 aliasing 없이 ASM을 하기 위해 제안된 Band-limited Angular Spectrum Method (BL-ASM)^[5] 방법에 대해 설명한다. Source wavefield g(x,y;z₀)가 z₀위치에 있을 때, 이를 초기값으로 하여 Helmholtz 2차 편미분 방정식을 풀면 d만큼 전파된 임의의 z 위치의 wavefield g(x,y;z)를 획득할 수 있다. 이 방법을 ASM이라고 하며, 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 (u,v)는 각각 x축과 y축 방향으로의 공간 주파수를 나타내며, G(u,v;z₀)는 g(x,y;z₀)를 푸리에 변환한 결과로 이를 각 스펙트럼(Angular Spectrum)이라 한다, H_AS는 ASM의 전달 함수를, • 은 두 피연산자의 곱 연산을 의미하며, F^-1는 역푸리에 변환 연산을 나타낸다. λ를 파장의 길이라 하면, 전달 함수 H_AS는 각 스펙트럼 회절 이론에 따라 다음과 같이 표현할 수 있다.

이때, 식(3)의 θ(u,v)를 각각 u,v에 대해 편미분하면 식 (4)와 식 (5)와 같이 u,v에 대한 지역 주파수를 구할 수 있다.

표본화 정리에 의하면, 주파수 도메인에서 표준화 간격의 역수가 해당 신호가 가질 수 있는 최대 주파수의 2배보다 클 때, aliasing이 발생하지 않을 수 있다. 하지만 식 (4)와 식 (5)를 보면 알 수 있듯, 전파 거리 d가 커질수록 전달 함수 H_AS(u,v;d)가 가질 수 있는 지역 주파수의 최대 주파수가 커지면서, 대역폭이 증가하게 된다. 즉, 일정 거리를 넘어서게 되면 quadruple extension을 적용하더라도 여전히 aliasing이 발생할 수 있게 된다. 따라서 표본화 정리를 만족하도록 전파 거리를 제한하여 역 푸리에 변환 시 aliasing이 발생하지 않도록 할 수 있다.

1차원 신호를 ASM을 이용해 전파하는 문제로 단순화하면 지역 주파수는 다음과 같이 다시 정의할 수 있다.

표본화 정리 조건을 전파 거리 d에 대해서 정리하면 다음과 같다.

여기서 Δu는 u축으로의 표본화 간격을 의미한다. 즉, d_max(u)의해, 공간 주파수 u가 커질수록 aliasing이 발생하지 않도록 최대로 전파할 수 있는 거리는 점점 작아지게 된다. 원본 신호가 가질 수 있는 최대 공간 주파수 u_max는 원본 신호의 표본화 간격 Δx 및 표본화 개수 N에 의해 다음과 같이 결정된다.

식 (10)의 최대 공간 주파수 u_max를 식 (8)의 최대 전파 거리 계산식 d_max(u)에 대입하면 해당 신호를 온전히 전파할 수 있는 최대 전파 거리를 계산할 수 있다.

d≤d_max(u_max)의 경우, aliasing 없이 온전한 신호를 전파할 수 있지만, d>d_max(u_max)의 경우, 표본화 조건을 만족하지 못해 aliasing이 발생한다.

또한, 식 (7)과 같은 표본화 정리 조건에서 전파 거리 d가 아닌 전달 함수의 주파수 범위를 제한할 수 있다. 위 수식을 공간 주파수 u에 따라 정리하면 다음과 같다.

즉, u_bl(d)에 의해 전파 거리 d가 커질수록, aliasing 없이 전파할 수 있는 공간 주파수 크기는 점점 작아지게 된다. 다만, 식 (12)를 따라 공간 주파수 u가 u_max(d)보다 작도록 제한하면, 전파 거리 d를 키워도 aliasing 없이 신호를 전파할 수 있는데, 이렇게 공간 주파수의 범위를 제한하는 방법을 Band-limited method라고 한다.

그림 2에서 x축은 전파하고자 하는 신호의 공간 주파수 범위를 나타내고, y축은 전파 거리를 나타낸다. x축과 y축으로 이루어진 좌표계에 그려진 그래프는 표본화 간격은 6.4㎛, 표본화 개수는 1,024, 단파장의 길이는 532㎚(Green)일 때의 d_max(u)혹은 u_bl(d)를 나타낸다. 그림 2는 원본 신호를 30㎝로 전파한다고 가정했을 때, 식 (8)과 식 (12)로 aliasing 없이 전파할 수 있는 2가지 방법을 나타낸 것이다. 그림 2의 (1)은 식 (8)의 방법을 나타낸 것으로, 원본 신호 전체를 보존하며 전파하되, 30㎝가 아닌 d_max(u_max)보다 짧은 거리로 전파한다. 그림 2의 (2)는 식 (12) 의 방법을 나타낸 것으로, 30㎝로 전파하되, aliasing이 나타날 수 있는 |u_bl(d)|보다 큰 고주파수 영역을 제한하여, 그보다 작은 주파수를 가진 영역만 전파한다. 전파 거리를 제한하는 (1)의 방법을 사용하면 원하는 거리만큼 신호를 주고 받을 수 없으므로, 일반적으로 원본 신호의 정보를 조금 손실하더라도 원하는 거리로 전파할 수 있는 (2)의 방법을 사용한다.

그림 2의 (2)번 방법을 앞서 빛을 전파하는 각 스펙트럼 방법과 결합하여 aliasing 없이 전파할 수 있도록 확장하였을 때, 이를 Band-limited Angular Spectrum Method (BL-ASM)^[5]이라고 한다. 앞서 정의한 u_BL과 마찬가지로 공간 주파수 v축에 대해서도 v_BL을 정의하여 기존의 ASM, 수식 (1)을 이산적으로 표현하면 다음과 같이 확장할 수 있다.

그림 2.

Aliasing 없이 원본 신호를 전파하는 방법Fig. 2. How to propagate the original signal without aliasing

여기서 , [m,n], [p,q]는 기존의 연속 도메인 (x,y), (u,v) 를 각각 표본화 한 것이며, Δu, Δv는 각각 u축과 v축의 표본화 간격을 의미한다. rect(•)는 구형함수를 나타내며, 기존의 ASM 전달 함수 H_AS에서 표본화 정리 조건에 충족하는 공간 주파수만 포함될 수 있도록 구형함수를 통해 제한한 전달 함수가 H_BL-ASM이다. BL-ASM을 사용하면 d_max(u_max)보다 큰 전파 거리에서도 aliasing이 발생할 수 있는 공간 주파수 영역을 제한하면서 원본 신호를 aliasing 없이 전파할 수 있다.

결과적으로, aliasing이 발생하지 않도록 2차원 신호를 d만큼 전파하는 방법으로 식 (11)에 의해 구한 최대 전파 거리 d_max(u_max)보다 작은 전파 거리 범위 안에서 source wavefield를 전파하는 방법이 있고, 전파 거리에 상관없이 식 (12)에 따라 aliasing이 나타날 수 있는 공간 주파수 범위를 제한하여 전파하는 방법이 있다. 다만, 최대 전파 거리 d_max(u_max)를 제한하면 원하는 거리만큼 홀로그램을 생성 및 복원할 수 없으므로, 최대 전파 거리 이상의 거리에서는 공간 주파수 범위를 제한하는 BL-ASM을 사용하게 된다.

2. Methods of Phase-only Hologram Generation

BL-ASM 방법을 이용해 물체의 진폭과 위상 정보를 전파하게 되는데, 전파된 진폭과 위상 정보를 모두 기록한 것을 복소 홀로그램이라고 한다. 이를 위상 홀로그램으로 만드는 가장 단순한 방법은 진폭을 버리고 위상만 기록하는 것이다. 일반적으로 위상에는 물체의 경계선과 같은 고주파수 성분들을 가지는 경향이 있어, 얇은 선으로 이루어진 텍스트나 심볼로 위상 홀로그램을 만들거나 간단히 위상 홀로그램 영상을 만들어 테스트하고 싶을 때, 진폭 정보를 버림으로써 빠르고 효율적으로 위상 홀로그램을 생성할 수 있다^[6]. 하지만 일반적으로 자연 이미지에는 고주파수 성분보다 저주파수 성분이 많으므로 단순히 진폭을 버리는 방법을 선택한다면 많은 정보를 잃을 수 있어 자주 사용되는 방법은 아니다. 따라서 물체의 진폭 정보를 위상에 담을 수 있도록 다양한 방법을 사용하게 되는데, 대표적으로 이중 위상 표현^[7]과 이를 활용한 Double Phase Amplitude Coding (DPAC)^[6], 반복 최적화 기법인 GS-algorithm^[8]과 신경망을 활용하는 방법^[9-12] 등이 있다.

그림 3.

이중 위상 표현Fig. 3. Double Phase Representation

첫 번째로, 이중 위상 표현^[7]은 복소 홀로그램을 2개의 위상으로 손실 없이 변환하는 방법이며, 다음과 같은 수식으로 정리할 수 있다.

복소 홀로그램 H의 진폭 A가 [0,1]의 범위를 가지고 있다면, 진폭이 0.5로 상수이고 위상이 각각 ϕ₁,ϕ₂인 위상 홀로그램을 생성할 수 있다. 이렇게 생성된 두 개의 위상 홀로그램을 동시에 디스플레이 할 수 있으면, 기존 복소 홀로그램의 진폭과 위상 정보를 모두 활용하기 때문에 복소 홀로그램과 동일한 화질의 홀로그램을 복원할 수 있다.

하지만 아직 두 개의 위상 홀로그램을 동시에 디스플레이 할 수 있는 기술이 없으므로, 각각의 위상을 바둑판 모양처럼 배치하여 하나의 위상 홀로그램을 생성하는 방법을 사용한다. 자세한 방법은 그림 4과 같다. 첫 번째 위상을 ϕ₁, 두 번째 위상을 ϕ₂라고 하면, (1,1) 좌표에는 ϕ₁, (1,2) 좌표에는 ϕ₂을 위치시킨다. 이렇게 ϕ₁,ϕ₂를 번갈아 가면서 배치하면 ϕ_DPAC위상을 얻게 되며, 이와 같은 방법을 Double Phase Amplitude Coding (DPAC)^[6]이라 한다. 다만, 이중 위상이 각각 절반씩 표본화되기 때문에 정보 손실이 발생한다.

그림 4.

DPAC로 위상 홀로그램 생성Fig. 4. Phase-only Hologram Generation with DPAC

위상 홀로그램을 생성할 때 주로 사용하는 방법으로 반복 최적화 방법이 있다. 대표적인 반복 최적화 방법으로는 Gerchberg-Saxton algorithm (GS algorithm)^[8]이 있으며, Iterative Fourier Transform Algorithm (IFTA)라 하기도 한다. GS algorithm은 무작위로 생성된 위상 홀로그램을 복원했을 때 원본 이미지의 진폭을 가지도록 제한한 후, 이를 다시 위상 홀로그램을 만드는 과정을 반복하는 알고리즘으로, 원본 물체의 진폭 정보가 위상에 포함되도록 만든다. 단순히 진폭을 무시하는 방법보다 위상 홀로그램을 안정적으로 생성할 수 있지만, 좋은 위상 홀로그램을 생성하기까지 많은 반복 횟수를 거쳐야 하므로 오랜 시간이 걸린다는 단점이 있다.

이 문제를 해결하기 위해 최근에는 딥러닝을 이용해 위상 홀로그램을 생성하는 방법에 관한 연구^[9-12]가 활발히 이루어지고 있다. 잘 학습된 위상 홀로그램 생성 네트워크를 활용하면 물체의 진폭과 위상 정보가 위상 홀로그램에 효율적으로 담을 수 있으며, 좋은 홀로그램을 빠르게 생성할 수 있다. 대표적으로 [9]에서는 U-net을 기반으로 랜덤하게 생성한 프레넬 회절 패턴을 학습하는 방법을 통해 위상 홀로그램을 한 번에 생성하는 방법을 제안하였으며, [10]에서는 원본 이미지와 네트워크를 통해 생성된 위상 홀로그램을 복원한 결과의 차이를 학습하여 3D 홀로그램을 생성하는 DeepCGH를 제안하기도 하였다. 이후 많은 연구가 이루어지면서 [11]에서는 원본 이미지에서 네트워크를 통해 초기 위상을 먼저 생성한 후, 이를 전파한 뒤 또 다른 네트워크를 통해 위상 홀로그램을 생성하는 HoloNet을 제안하였으며, [12]에서는 자체적으로 생성한 고해상도 위상 홀로그램 데이터 MIT-CGH-4K를 통해 실시간으로 사실적인 3D 홀로그램을 생성하는 Tensor Holography를 제안하였다. 본 논문에서는 [11]에서 제안한 학습 전략을 활용해 U-net을 기반으로 위상 홀로그램 생성 네트워크를 학습하였다.

1. 복소 홀로그램 생성 실험 (Lossless)

위상 홀로그램을 생성을 위한 적절한 전파 거리에 대해 고찰하기 전, BL-ASM으로 생성한 복소 홀로그램이 이론적으로 문제가 없는지 실험적으로 검증할 필요가 있다. BL-ASM의 수식에 따르면 전달 함수 H_BL-ASM에 의해 전파 거리 d가 커질수록 wavefield의 위상이 변형이 일어나며, 표본화 정리를 만족하기 위한 대역폭의 제한으로 실제 물체의 진폭 및 위상 정보가 온전히 전달되지 않을 수 있다. 즉, 전파 거리 d가 커질수록 복소 홀로그램을 복원한 이미지의 화질이 점점 낮아질 것으로 예상된다.

실험은 그림 5와 같은 방법으로 진행된다. 원본 이미지 X를 BL-ASM으로 -d만큼 전파하여 복소 홀로그램, A_exp(iθ)를 생성한다. 생성된 복소 홀로그램을 이전과 반대 방향으로 d만큼 전파하여 수치적으로 복원한 결과 X'을 생성한다. 이때, 원본 이미지 X와 홀로그램을 복원한 결과 X'를 이용해 Peak Signal-Noise Ratio (PSNR)을 계산 한다. 추가로, BL-ASM을 통해 생성된 CGH의 진폭을 [0, 1]로 제한하고 이중 위상 표현에 따라 두 개의 위상으로 분리한 후, 수치적으로 복원한 결과의 평균을 계산하여 원본 이미지와의 PSNR을 통해 복원성능을 비교하였다.

그림 5.

복소 홀로그램 생성 및 복원 실험Fig. 5. Experiment for Complex Hologram Generation / Reconstruction

공정한 비교 실험을 위해 데이터는 DIV2K^[13] validation dataset을 각 이미지 당 512×512크기로 랜덤하게 3장씩 잘라내어 총 300장의 이미지를 사용하였고, 푸리에 변환 과정에서 aliasing이 발생하지 않도록 quadruple extension을 적용하여 전파하였다. 표본화 간격은 6.4μm, 단파장의 길이는 로 고정하였다. 반면, 전파 거리는 1㎝~20㎝ 사이 거리를 기준으로 다양하게 변화시켜가며 실험을 진행하였다.

복소 홀로그램을 생성 및 복원한 실험 결과는 표 1과 같다. 앞서 예상했던 대로 전파 거리가 가장 짧은 1㎝일 때 원본 이미지와 가장 비슷한 복원성능을 보여주었으며, d가 커질수록 복원성능이 떨어지는 것을 확인할 수 있다. 또한, 푸리에 변환 연산은 선형적 연산이므로, 복소 홀로그램을 이중 위상 표현으로 두 개의 위상 홀로그램을 만들고 이를 각각 복원하여 평균을 낸 결과와 복소 홀로그램을 복원한 결과가 동일하게 나타나는 것을 확인할 수 있었다. 이는 앞서 예상한 결과와 일치하는 결과로 BL-ASM으로 복소 홀로그램을 생성하고 복원하는 데 이론적으로 문제가 없음을 확인할 수 있었다.

표 1.

복소 홀로그램 복원 화질 평가 결과Table. 1. Numerical Reconstruction PSNR Result of Complex Hologram

2. 위상 홀로그램 생성 실험 (Lossy)

복소 홀로그램의 경우에는 전파 거리 d가 커짐에 따라 복원성능이 떨어지는 모습을 보인다. 이 복소 홀로그램을 위상 홀로그램으로 변환하면 물체가 가지고 있는 정보 일부를 잃게 되므로, 동일한 d에서 복소 홀로그램에 비해 위상 홀로그램의 복원성능은 떨어지는데, 이때 정보의 손실이 얼마나 발생했는지에 따라 전파 거리 d에 따른 복원성능이 복소 홀로그램의 경우와 달라질 수 있다. 따라서, 본 절에서는 위상 홀로그램의 경우에 d에 따른 복원성능을 실험적으로 확인해보고자 한다.

실험은 그림 6과 같은 방법으로 진행된다. 원본 이미지 X를 BL-ASM으로 -d만큼 전파하여 복소 홀로그램, A_exp(iθ)를 생성하면, amplitude discard method, DPAC, GS algorithm을 이용해 위상 홀로그램 exp(iθ')을 생성한다. 위상 홀로그램을 이전과 반대 방향으로 d만큼 전파하여 수치적으로 복원한 결과 X'을 생성한 후, 원본 이미지 X와 PSNR을 통해 복원성능을 비교한다. 이때, 사용한 실험 조건은 앞서 복소 홀로그램의 복원성능 비교 실험과 같도록 설정하였으며, 다만 GS algorithm은 총 500번 반복하여 위상 홀로그램을 생성하였다.

그림 6.

위상 홀로그램 생성 및 복원 실험Fig. 6. Experiment for Phase-only Hologram Generation / Reconstruction

위상 홀로그램 생성 및 복원 실험 결과는 표 2와 같다. 단순히 진폭 정보를 무시하는 방법을 사용하면 원본 이미지에 존재하는 많은 정보를 잃어버리기 때문에, 복소 홀로그램에 비해 복원성능이 많이 떨어지는 모습을 확인할 수 있었다. GS algorithm으로 생성된 위상 홀로그램의 경우, 단순히 진폭 정보를 무시했을 때보다 좋은 화질의 위상 홀로그램을 안정적으로 생성할 수 있었으며, 전파 거리에 따른 위상 홀로그램 복원성능을 비교했을 때 복소 홀로그램과 비슷한 양상을 띠는 것을 확인할 수 있었다. 다만, 그림 8에서처럼 GS algorithm으로 생성된 위상 홀로그램은 복원했을 때 전반적으로 잡음이 많이 섞인 모습을 확인할 수 있었다.

표 2.

Phase-only Hologram 복원 화질 평가 결과Table. 2. Numerical Reconstruction PSNR Result of Phase-only Hologram

문제는 DPAC을 통해 만들어진 위상 홀로그램을 복원할 때이다. d가 커질수록 복원성능이 떨어질 것이라는 예상과는 달리, d가 작을 때는 진폭 정보를 제한한 결과보다 복원성능이 더 안 좋은 모습을 보이다가 d가 7㎝에서 8㎝로 넘어가는 순간 복원성능이 갑자기 좋아지는 모습을 확인할 수 있었다. 그림 7을 통해 DPAC로 생성된 위상 홀로그램을 복원한 결과를 확인하면, 8㎝일 때는 원본 이미지와 유사하게 위상 홀로그램이 잘 복원되었지만, 7㎝일 때는 모서리에 노이즈가 섞이면서 원본 이미지와 전혀 다른 모습으로 복원되었음을 확인할 수 있었다. 즉, 복소 홀로그램과 동일한 방법으로 위상 홀로그램을 복원하더라도 전파 거리에 따른 결과가 완전히 다른 양상을 보이는 경우가 존재하고 있었다.

그림 7.

전파 거리에 따른 컴퓨터 생성 홀로그램 수치적 복원 화질 성능 비교Fig. 7. Comparison of Numerical Reconstruction PSNR with respect to Propagation Distance

그림 8.

전파 거리에 따른 컴퓨터 생성 홀로그램 수치적 복원 예Fig. 8. Example of Numerical Reconstruction of CGH with respect to Propagation Distance

1. Case Study

DPAC로 위상 홀로그램을 생성하는 방법은 총 3단계로 나누어 생각해 볼 수 있다. 먼저, 원본 이미지를 BL-ASM을 통해 전파하여 복소 홀로그램을 생성한다. 그 다음, 이중 위상 표현을 통해 2개의 위상 홀로그램으로 변환한다. 이후, 하나의 위상 홀로그램으로 만들기 위해 2개의 위상을 checkerboard pattern으로 subsampling 한다. 하지만 표 1에서 보았듯 복소 홀로그램을 생성하는 과정은 물론, 이중 위상 표현으로 얻은 2개의 위상 홀로그램을 복원하는 과정에서도 어떤 문제가 발생하지 않았다. 즉, subsampling을 통해 하나의 위상 홀로그램을 만드는 단계에서 문제가 발생했음을 알 수 있으며, 특히 subsampling 하는 과정에서 aliasing이 발생해 고주파수 성분이 많아져 복소 홀로그램이나 이중 위상으로 표현된 위상 홀로그램을 복원할 때 사용하는 전달 함수보다 대역폭이 커졌을 가능성이 있다.

표본화 정리에 따라 ASM을 통해 wavefield를 전파할 때 aliasing이 발생하지 않게 하려면, 식 (8)에 따라 최대 전파 거리 제한을 만족하거나 식 (12)에 따라 공간 주파수 범위를 제한할 수 있다. 앞선 실험 조건에 따라 최대 전파 거리 d_max(u_max)를 계산하면 7.877218㎝가 되는데, 이는 일반적인 ASM을 이용해 7㎝로 전파하면 aliasing이 발생하지 않지만, 8㎝로 전파하면 aliasing이 발생함을 의미한다. 따라서 8㎝를 넘어가는 전파 거리에서도 aliasing이 발생하지 않도록 공간 주파수 범위를 제한하면서 전파하게 되는데, 이때 고주파수 성분들이 제거된다. 즉, 전파 거리 7㎝에서 DPAC로 만든 위상 홀로그램을 복원하는 경우, BL-ASM 방법을 사용해 전파했음에도 불구하고 고주파수 성분이 제한되지 않아 subsampling에 의해 발생한 aliasing이 문제가 되었다고 볼 수 있다.

위 가설을 검증하기 위해, 하나의 데이터에서 복소 홀로그램과 DPAC를 통해 생성한 위상 홀로그램을 푸리에 변환하여 주파수 도메인에서 비교하였다. 결과는 그림 9과 같다. 그림 9의 (a)는 DPAC로 만든 위상 홀로그램을 푸리에 변환한 결과이고, 그림 9의 (b)는 복소 홀로그램을 푸리에 변환한 결과이다. 전파 거리가 7㎝일 때, DPAC로 만든 위상 홀로그램을 푸리에 변환한 결과는 복소 홀로그램을 푸리에 변환한 경우와 달리 고주파수 성분이 상승한 모습을 확인할 수 있었다. 이를 통해 DPAC의 subsampling 과정이 위상 홀로그램을 복원하는 과정에서 고주파수 성분을 추가로 가지도록 만들었음을 알 수 있다.

그림 9.

DPAC으로 생성한 위상 홀로그램 (a) / 복소 홀로그램 (b) 푸리에 변환 연산 결과Fig. 9. Result of Fourier Transform Operation (Phase-only Hologram generated with DPAC (a) / Complex Hologram (b))

이후, 그림 10의 (a)와 같이 전파 거리 8㎝에서 aliasing이 발생하지 않도록 공간 주파수 범위를 제한하는 만큼, 동일하게 전파 거리 7㎝에서도 제한을 걸어 복원해보았다. 공간 주파수 범위에 제한을 걸지 않았을 경우 복원성능이 12.22dB으로, 매우 낮은 복원성능을 보여주었지만, 제한을 걸어 복원했을 경우 24.07dB로, 복원성능이 거의 2배 가까이 상승한 것을 확인할 수 있었다. 즉, 적어도 전파 거리가 7㎝인 경우, 고주파수 성분을 일부 제한하여 DPAC을 통해 얻어진 aliasing을 제거하면 위상 홀로그램의 복원성능이 향상함을 알 수 있었다.

그림 10.

전파 거리 7㎝로 만들어진 DPAC 위상 홀로그램의 대역폭을 제한한 결과Fig. 10. Result of limiting the bandwidth of DPAC phase-only hologram generated with Propagation Distance 7㎝

2. Subsampling을 고려한 BL-ASM 방법의 확장

본 논문에서는 상기한 실험 결과를 통해 얻은 아이디어를 확장하여 기존의 BL-ASM이 적용되지 않던 거리에서도 대역 제한을 추가적으로 적용함으로써 DPAC의 subsampling에 의해 발생한 aliasing을 효과적으로 제거할 수 있음을 보이고자 한다. Subsampling 적용 전의 표본화 간격을 식 (9)에서와 마찬가지로 Δu라 하면, subsampling에 의해 더 늘어난 표본화 간격 Δu'은 sampling factor α을 이용하여 식 (19)와 같이 나타낼 수 있다. 이때, sampling factor α는 DPAC에 의해 기존의 표본화 간격 Δu가 얼마나 늘어나는 지를 모형화하기 위해 본 논문에서 도입한 파라미터로, 1보다 크거나 같은 실수 값을 갖는다.

식 (19)를 이용하여 최대 기존 BL-ASM의 전파 거리 제한 조건식 (8)과 대역폭 제한 조건식 (12)를 다음과 같이 수정할 수 있다.

식 (20)과 (21)에 의해 sampling factor α가 증가하면, 즉 표본화 간격이 증가하면 최대 전파 거리가 감소하여 기존 BL-ASM이 유효하지 않던 거리에서도 대역폭을 제한할 수 있다. 따라서, 동일한 전파 거리에서 고주파수를 제한하는 효과가 생기게 된다.

그림 11은 sampling factor α에 따라 달라지는 최대 전파 거리 조건식 d_max(u;a)과 대역폭 제한 조건식 u_bl(d;a)를 나타낸 그래프이다. 이 그래프에서 x축은 전파하고자 하는 신호의 공간 주파수 범위를 나타내고, y축은 전파 거리를 나타낸다. x축과 y축으로 이루어진 좌표계에 그려진 그래프는 표본화 간격은 6.4㎛, 표본화 개수는 1,024, 단파장의 길이는 (Green)를 사용하였다. 그림 11의 화살표 (1)은 α를 1에서 2로 키울 경우 aliasing 없이 온전히 전파할 수 있는 전파 거리가 줄어듦을 보여주고 있다. 그림 11의 화살표 (2)는 동일한 전파 거리로 전파하는 경우, α가 1일 경우보다 α가 2일 경우에 aliasing 없이 전파할 수 있는 대역폭의 크기가 줄어듦을 보여주고 있다. 또한 sampling factor α가 커질수록 aliasing 없이 전파할 수 있는 대역폭의 크기가 점진적으로 줄어들고 있음을 보여주고 있으며, 이는 표본화 간격의 크기를 키움으로써 고주파수 성분을 제한하는 효과가 생김을 보여준다.

그림 11.

Sampling factor 관점에서 aliasing 없이 전파하는 방법Fig. 11. How to propagate the original signal without aliasing in terms of sampling factor

식 (21)의 대역폭 제한 조건식을 통해 sampling factor α를 추가하므로써 기존 BL-ASM 식 (13) ~(15)를 다음의 식 (22)~(24)와 같이 확장할 수 있다. 본 논문에서는 편의상 식 (22)~(24)로 정의된 새로운 BL-ASM 방법을 BL-ASM(α)라 칭하기로 한다. BL-ASM(α)에서 α가 1일 경우에는 기존 BL-ASM 방법과 동일하게 사용되며, α를 증가시키면 동일한 전파거리로 전파할 때 고주파수 영역을 추가로 더 제거할 수 있다.

그림 12는 BL-ASM(α)를 활용하여 DPAC를 통해 얻은 위상 홀로그램을 복원해 본 결과를 나타낸다. 이때 사용한 실험 조건은 3절의 2번째 실험과 동일하며, 다만 sampling factor α를 변화시켜가며 실험해보았다. 그림 12의 가로축은 전파 거리, 세로축은 복원 화질 평과 결과를 나타낸다. 검은색 실선은 3절의 1번째 실험, 즉 복소 홀로그램 복원 결과를 나타내며, α = 1로 표시된 파란색 실선은 3절의 2번째 실험 중 DPAC로 만들어진 위상 홀로그램 복원 결과를 나타낸다. α를 바꾸어가며 실험한 결과, 기존 복원성능이 떨어졌던 거리(d<d_max(u_max) ≃ 7.877218cm)에 대해서도 복원성능을 충분히 향상시킬 수 있음을 확인하였다.

그림 12.

Sampling factor와 전파 거리에 따른 위상 홀로그램 복원 화질 성능 비교Fig. 12. Comparison of PoH Numerical Reconstruction PSNR in terms of sampling factor and propagation distance

다만, 각 sampling factor에 대해 특정 전파 거리를 기준으로 더 멀리 전파하거나 가깝게 전파했을 때 복원성능이 떨어지는 모습을 보이는 경향이 있다. 예를 들어, α = 3인 경우, 5㎝의 전파 거리로 전파했을 때 가장 좋은 복원성능을 보여주었으며, 그보다 더 가깝게 전파하거나 멀리 전파하는 경우 복원성능이 떨어지는 모습을 보여주고 있다. 좋은 복원성능을 내는 거리를 d_a*라고 했을 때, 전파 거리 d<d_a*인 경우 DPAC의 subsampling으로 만들어진 aliasing을 충분히 제거하지 않았기 때문이며, 전파 거리 d_a*<d인 경우 과도한 대역폭 제한으로 위상 홀로그램이 갖고 있던 원본 신호에 대한 정보를 많이 손실했기 때문이다.

그림 13은 각 전파 거리에 대해 가장 좋은 복원성능을 보인 sampling factor를 그래프로 나타낸 것이다. 그림 13의 가로축은 전파 거리, 세로축은 sampling factor를 나타낸다. 각 전파 거리에 따라 복원성능이 가장 좋게 나오는 최적의 sampling factor를 a_d*라고 하면, 전파 거리가 작아질수록 a_d*가 커져야 복원성능이 향상됨을 알 수 있다. 이는, 전파 거리가 작을수록 대역폭을 더 많이 제한해야 aliasing을 제거할 수 있음을 의미하며, 이를 반영하기 위해 더 큰 sampling factor를 사용해야 함을 의미한다. 반대로 전파 거리가 커질수록 a_d*가 1에 가깝게 수렴하는 것을 알 수 있는데, 이는 기존 BL-ASM으로도 충분한 대역폭 제한이 걸려 subsampling에 의한 aliasing을 잘 제어할 수 있기 때문이다.

그림 13.

각 전파 거리에 따른 최적의 sampling factorFig. 13. Optimal sampling factor according to propagation distance